NUMERATION

• Intro(System of numeration) #

  • 补码

  • 进制转换图 #

    

  • 浮点数 #

    按照 IEEE 754 浮点数标准，一般会以四个字节来保存，布局结构图如下：
    
    
    
    在谈论计算保存字节值之前先了解一下科学计数法：
    在十进制中： \(12302 = 1.2302 * 10^4\)， \( 0.00123 = 1.23 * 10^{-3}\)
    在二进制中： \(11000 = 1.1 * 2^4\)， \( 0.0101 = 1.01 * 2^{-2}\)
    
    将 9.625 这个数改成 IEEE 754 标准的机器数步骤如下：
    1. 确定符号位，正数，所以为 0。
    2. 将十进制转换为二进制：
    
    3. 科学计数法规范化：\(1001.101 = 1.001101 * 2^3\)。
    4. 由步骤 3 可知，exponent = 3。而 IEEE 754 单精度格式使用偏置值 127 来表示指数，所以加上偏置值 \(3 + 127 = 130 = 10000010\)
    5. 组合起来就是: \(0\space 10000010_8\space 00110100000000000000000_{23}\)
    
    Java 代码验证：
    
    

    • 精度丢失过程 #

      

      1. 先将 16777216 转化为二进制表示： 1 00000000 00000000 00000000
      2. 将二进制写成科学计数法：\(1.0 * 2^{24}\)
      3. 计算 exponent : 24 + 127 = 10010111，外加位数 23 个 0。
      4. 综上：0 10010111 0000000 00000000 00000000。

      1. 先将 16777217 转化为二进制表示： 1 00000000 00000000 00000001
      2. 将二进制写成科学计数法：\(1.00000000 \hspace{0.5em} 00000000 \hspace{0.5em} 00000001 * 2^{24}\)
      3. 计算 exponent : 24 + 127 = 10010111，只有23位，只能把最后的1截断，相当于加23个0。
      4. 综上：0 10010111 0000000 00000000 00000000。

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• Reference #